目录

第1章 绪论——纵观古今，面向未来
§1 数学的重要性
1.数学与对知识的探求
2.数学的重要性
3.两种文化的融合
4.指导思想
§2 数学史上的关键时期
1.五个质不同的时期
2.四个高峰期
3.七次飞跃
§3 数学的特点与教育价值
1.数学的特点
2.数学的教育价值
§4如何学
1.鉴赏力
2.致广大而尽精微
3.澄其源而清其流
4.循序渐进
5.笛卡儿的方法论
6.以简驭繁
7.从师、读书与讨论
8.验证与总结
9.刻苦努力——不受一番冰霜苦，哪有梅花放清香
第2 章数学文化的源头
§1 数学文化的源头
§2 希腊人的哲学观及其影响
1.数学的真理性
2.柏拉图与亚里士多德
3.柏拉图、亚里士多德与西方文化
§3 古代希腊的天文学
1.早期的地心说
2.日心说的提出
3.第一次科学大综合
§4 从经验数学到演绎数学
1.经验数学
2.希腊人对数学思想的贡献
3.演绎几何的诞生
§5 演绎数学
1.演绎法的结构
2.演绎推理的地位
3.合情推理与论证推理
§6 希腊数学的重要成果
1.毕达哥拉斯学派发现无理数
2.正多边形作图
3.圆锥曲线
4.阿基米德的数学成就
5.三角术的创立
§7 留给后人的难题
1.关于无理数
2.几何作图三大问题
第3 章现代科学的发端
§1 科学方法
1.培根与归纳法
2.笛卡儿与演绎法
3.归纳法与演绎法
4.伽利略的科学规划
5.三大要素
§2 科学的数学化
1.宇宙的和谐
2.近代科学的黎明——哥白尼革命
3.哥白尼体系的真理性
§3 天体力学的诞生
1.开普勒的三定律
2.开普勒的天文学与正多面体
§4 牛顿力学的建立
1.牛顿面临的问题
2.苹果﹑月亮和万有引力
3.奇妙的预测
第4章 绘画艺术与几何学
§1 科学与艺术
1.美与真
2.异同比较
3.相互依存
§2 绘画与数学
1.绘画与科学
2.新的时代,新的艺术
3.引入第三维
4.数学的引入
5.艺术家丢勒
6.数学定理
7.从艺术中诞生的科学
§3 完美的结合,艺术的顶峰
1.文艺复兴早期的绘画
2.盛期文艺复兴三杰
3.风景画
第5章 数的扩充史
§1 数的基本知识
1.两种知识
2.数的用途
3.五个主要阶段
4.十进位制
5.印度—阿拉伯记数法
6.数的几何表示——数轴与复平面
§2 关键进展
1.新的语言
2.无理数的诞生
3.0的发现
4.负数的引入
5.数与代数方程
6.复数
7.代数数与超越数
8.希尔伯特第七问题
§3 新的数系
1.四元数的诞生
2.四元数的性质
3.矩阵
4.超限数
§4 可数集
1.势的概念
2.有理数集是可数的
§5 数系的公理化
1.皮亚诺的五条公理
2.有理数的定义
3.有理数的两条重要性质
4.实数的定义
第6章 解析几何概要
§1 两个基本概念
1.解析几何的诞生
2.两个基本概念
§2 圆锥曲线
1.希腊数学的顶峰
2.椭圆、双曲线、抛物线
3.二次曲线的光学性质
4.观测宇宙
§3 化二次方程为标准形
1.9种标准形
2.坐标变换
3.化二次方程为标准形
§4 向量代数
1.向量
2.向量的加减法与数乘
3.向量的坐标表示
4.数量积和它的性质
§5应用与意义
1.解析几何解决的主要问题
2.解析几何的伟大意义
第7 章微积分发展史
引言
1.目的
2.概观
3.分期
§1 希腊时期
1.数的学问
2.芝诺的四个悖论
3.欧多克苏斯和比例
4.面积与穷竭法
5.阿基米德的平衡法
§2 酝酿时期
1.方法的变革
2.开普勒的工作
3.不可分素方法
4.微分学的早期史
5.巴罗的贡献
6.前期史小结
§3 诞生和发展时期
1.发现和洞见
2.牛顿对微积分的主要贡献
3.莱布尼茨对微积分的主要贡献
4.18世纪的进展
5.第二次数学危机
6.待解决的问题
§4 严格化时期
1.函数概念
2.布尔查诺的贡献
3.柯西的工作
4.分析的算术化
第8章 傅里叶分析与音乐
§1 音律的确定
1.引言
2.古希腊音律的确定
3.古代中国对音律的贡献
4.十二平均律
§2 数学与音乐的进一步联系
1.梅森的定律
2.伟大的傅里叶
3.简谐振动
4.弹簧的振动
5.傅里叶定理
6.大自然的统一性
7.麦克斯韦的功绩
8.小结
第9章 非欧几何的诞生及影响
§1 欧氏几何回顾
1.欧氏几何的内容
2.欧氏几何的历